Kas ir Log-Normal izplatīšana?
Log-normāls sadalījums ir nepārtraukts nejaušo mainīgo sadalījums, kuru logaritmi ir sadalīti normāli. Citiem vārdiem sakot, lognormālo sadalījumu ģenerē e x funkcija , kur domājams, ka x (gadījuma lielums) ir normāli sadalīts. E x dabiskajā logaritmā ir x, normāli sadalīti lognormāli sadalītu nejaušo mainīgo lielumu logaritmi.
Mainīgais X parasti tiek sadalīts, ja Y = ln (X), kur ln ir dabiskais logaritms.
- Y = e x
- Pieņemsim dabisko logaritmu abās pusēs.
- lnY = ln e x, kā rezultātā iegūst lnY = x
Tāpēc mēs varam teikt, ja X, kas ir nejaušs mainīgais, ir normāls sadalījums, tad Y ir lognormāls sadalījums.
Log-Normal izplatīšanas formula
Lognormālā sadalījuma varbūtības blīvuma funkcijas formulu nosaka vidējais μ un standartnovirze σ, ko apzīmē ar:
Log-Normal izplatīšanas parametri
Log-normālo sadalījumu raksturo šādi trīs parametri:
- σ , sadalījuma žurnāla standartnovirze, ko sauc arī par formas parametru. Formas parametrs parasti ietekmē lognormālā sadalījuma kopējo formu, taču tas neietekmē grafika atrašanās vietu un augstumu.
- m , sadalījuma mediāna, kas pazīstama arī kā mēroga parametrs.
- Θ , atrašanās vietas parametrs, ko izmanto, lai atrastu diagrammu uz x ass.
Vidējā un standartnovirze ir divi galvenie lognormālā sadalījuma parametri, un to skaidri nosaka šie divi parametri.
Šis attēls ilustrē normālo sadalījumu un log-normālo sadalījumu.
No iepriekš minētā attēla mēs varētu atzīmēt šādas log-normālā sadalījuma pazīmes.
- Log-normālie sadalījumi ir pozitīvi novirzīti pa labi, ņemot vērā zemākas vidējās vērtības un lielāku nejaušo mainīgo lielumu dispersiju apsvērumos.
- Lognormālo sadalījumu no apakšas vienmēr ierobežo 0, jo tas palīdz modelēt aktīvu cenas, kurām nav paredzams negatīvas vērtības.
- Lognormālais sadalījums ir pozitīvi izkropļots ar lielu skaitu mazu vērtību, un tajā ir dažas galvenās vērtības, kuru rezultātā vidējā vērtība bieži ir lielāka par režīmu.
Pēc iepriekš minētā attēla mēs varētu novērot, ka log-normālais sadalījums ir ierobežots ar 0, un tas ir pozitīvi izliekts pa labi, ko varēja pamanīt ar garo asti labās puses virzienā. Šie divi novērojumi tiek uzskatīti par lognormālo sadalījumu galvenajām īpašībām. Praksē lognormālie sadalījumi izrādījās ļoti noderīgi kapitāla vai aktīvu cenu sadalē, savukārt parastais sadalījums ir ļoti noderīgs, lai novērtētu aktīvu paredzamo atdevi noteiktā laika periodā.
Log-Normal izplatīšanas piemēri
Tālāk ir sniegti daži piemēri, kur var izmantot log-normal sadalījumus:
- Gāzes tilpums enerģijas un naftas rezervēs.
- Piena ražošanas apjoms.
- Nokrišņu daudzums.
- Ražošanas un rūpniecības vienību potenciālais mūžs, kuru izdzīvošanas iespējas raksturo stresa līmenis.
- Periodu apjoms, kurā pastāv jebkāda infekcijas slimība.
Log-Normal izplatīšanas pielietošana un izmantošana
Šīs ir log-normal izplatīšanas lietojumprogrammas un izmantojumi.
- Visbiežāk izmantotais un populārākais sadalījums ir normāls sadalījums, kas parasti ir sadalīts un simetrisks un veido zvana formas līkni, kas ir modelējis dažādus dabiskos no vienkārša līdz ļoti sarežģītam.
- Bet ir gadījumi, kad normāls sadalījums saskaras ar ierobežojumiem, kur lognormālo sadalījumu var viegli piemērot. Normālais sadalījums var uzskatīt par negatīvu nejaušu mainīgo, bet lognormālais sadalījums paredz tikai pozitīvus nejaušus mainīgos.
- Viens no daudzajiem lietojumiem, kur finansēs tiek izmantots lognormāls sadalījums, kur tas tiek izmantots aktīvu cenu analīzē. Paredzētā aktīvu atdeve tiek attēlota normālā sadalījumā, bet aktīvu cenas - normālā sadalījumā.
- Ar lognormālās sadalījuma līknes palīdzību mēs varam viegli aprēķināt aktīvu saliktās atdeves likmi noteiktā laika periodā.
- Ja mēs izmantojām normālu sadalījumu, lai aprēķinātu aktīvu cenas noteiktā laika periodā, pastāv iespējas iegūt peļņu, kas ir mazāka par -100%, kas pēc tam pieņem, ka aktīvu cenas ir mazākas par 0. Bet, ja savienojuma novērtēšanai izmantojam lognormālu sadalījumu ienesīguma likme noteiktā laika posmā, mēs varam viegli novērst situāciju, kad tiek iegūta negatīva atdeve, jo lognormāls sadalījums ņem vērā tikai pozitīvus nejaušus mainīgos.
- Cenu relatīva ir aktīva cena perioda beigās, dalīta ar aktīva sākotnējo cenu, kas ir vienāda ar 1 plus turēšanas perioda peļņa. Lai atrastu perioda cenas aktīva beigas, mēs varam iegūt to pašu, reizinot to ar relatīvo cenu, kas reizināta ar sākotnējo aktīvu cenu. Lognormālajam sadalījumam ir tikai pozitīva vērtība; tāpēc aktīvu cena perioda beigās nevar būt zemāka par 0.
Log-Normal sadalījums kapitāla vērtspapīru cenu modelēšanā
Log-normāls sadalījums ir izmantots, lai modelētu akciju un daudzu citu aktīvu cenu varbūtības sadalījumu. Piemēram, mēs esam novērojuši, ka Black-Scholes-Merton opcijas cenu noteikšanas modelī parādās normālas normas, kur ir pieņēmums, ka pamatā esošā aktīva opcijas cena vienlaikus tiek normāli sadalīta.
Secinājums
- Normālais sadalījums ir varbūtības sadalījums, kas tiek uzskatīts par asimetrisku un zvana formas līkni. Normālā sadalījumā 69% rezultāta ietilpst vienā standartnovirzē, un 95% ietilpst divās standartnovirzēs.
- Normālā sadalījuma popularitātes dēļ lielākā daļa cilvēku ir iepazinušies ar normālā sadalījuma jēdzienu un pielietojumu, taču tajā laikā viņi, šķiet, nav vienlīdz labi pazīstami ar lognormālā sadalījuma jēdzienu. Normālo sadalījumu var pārveidot lognormālā sadalījumā ar logaritmu palīdzību, kas kļūst par pamatu, jo lognormālie sadalījumi uzskata par vienīgo nejaušo lielumu, kas parasti tiek sadalīts.
- Lognormālos sadalījumus var izmantot kopā ar normālo sadalījumu. Lognormālie sadalījumi ir rezultāts, pieņemot ln dabisko logaritmu, kurā bāze ir vienāda ar e = 2,718. Papildus norādītajai bāzei lognormālo sadalījumu varēja veikt, izmantojot citu bāzi, kas pēc tam ietekmētu lognormālā sadalījuma formu.
- Lognormālā sadalījuma grafiks ir normāli sadalītu nejaušo mainīgo lielumu žurnāls no parastajām sadalījuma līknēm. Ln, dabīgais log ir zināms e, eksponents, uz kuru jāpaaugstina bāze, lai iegūtu vēlamo nejaušo lielumu x, kuru varētu atrast normālā sadalījuma līknē.
