Hipergeometriskā sadalījuma definīcija
Statistikā un varbūtības teorijā hipergeometriskais sadalījums būtībā ir izteikts varbūtības sadalījums, kas nosaka k veiksmes varbūtību (ti, dažus nejaušus izlozējumus uzzīmētajam objektam, kuram ir kāda noteikta iezīme) n nē no nevienam skaitlim, bez jebkādas aizstāšanas populācijas lielums N, kas precīzi ietver K objektus, kuriem ir šī pazīme, kur izloze var izdoties vai neizdoties.
Hipergeometriskā sadalījuma varbūtības formula tiek atvasināta, izmantojot vairākus vienumus populācijā, vienību skaitu izlasē, panākumu skaitu populācijā, panākumu skaitu izlasē un dažas kombinācijas. Matemātiski varbūtība tiek attēlota kā
P = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n
kur,
- N = priekšmetu skaits populācijā
- n = paraugā esošo priekšmetu skaits
- K = panākumu skaits populācijā
- k = veiksmes skaits izlasē
Hipergometriskā sadalījuma vidējo un standartnovirzi izsaka kā
Vidējais = n * K / N standartnovirze = (n * K * (N - K) * (N - n) / (N 2 * (N - 1))) 1/2Paskaidrojums
1. solis: Pirmkārt, nosakiet kopējo vienību skaitu populācijā, ko apzīmē ar N. Piemēram, spēļu kāršu skaits klājā ir 52.
2. solis: Pēc tam nosakiet parauga vienību skaitu, ko apzīmē ar n, piemēram, no klāja izvilkto karšu skaitu.
3. solis: Pēc tam nosakiet gadījumus, kas tiks uzskatīti par populācijas panākumiem, un to apzīmē ar K. Piemēram, siržu skaits kopējā klājā ir 13.
4. solis: Pēc tam nosakiet gadījumus, kuri tiks uzskatīti par veiksmīgiem atlasītajā izlasē, un to apzīmē ar k. Piemēram, no klāja izvilkto kāršu sirsniņu skaits.
5. solis: Visbeidzot, hipergeometriskā sadalījuma varbūtības formula tiek atvasināta, izmantojot vairākus vienumus populācijā (1. solis), vienumu skaitu izlasē (2. solis), panākumu skaitu populācijā (3. solis) un veiksmes skaits izlasē (4. solis), kā parādīts zemāk.
P = K C k * (N - K) C (n - k) / N C nHipergeometriskā sadalījuma piemēri (ar Excel veidni)
1. piemērs
Ņemsim par piemēru parastu spēļu kāršu klāju, kurā nejauši tiek izvilktas 6 kārtis bez nomaiņas. Nosakiet varbūtību uzzīmēt tieši 4 sarkanas svītas kartes, ti, dimantus vai sirdis.
- Ņemot vērā, N = 52 (jo parastajā spēļu klājā ir 52 kārtis)
- n = 6 (no klāja nejauši izvilktu karšu skaits)
- K = 26 (tā kā dimantu un sirds komplektā katrā ir 13 sarkanās kartītes)
- k = 4 (sarkano kartīšu skaits, kuras jāuzskata par veiksmīgām atlasītajā paraugā)
Risinājums:
Tāpēc varbūtību uzzīmēt tieši 4 sarkanās komplekta kārtis izlozētajās 6 kartēs var aprēķināt, izmantojot iepriekš minēto formulu:
Varbūtība = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n
= 26 C 4 * (52 - 26) C (6 - 4) / 52 C 6
= 26 C 4 * 26 C 2 / 52 C 6
= 14950 * 325/20358520
Varbūtība būs -
Varbūtība = 0,2387 ~ 23,87%
Tāpēc ir 23,87% varbūtība, ka izlozēsiet tieši 4 sarkanās kartītes, vienlaikus izvelkot 6 nejaušas kārtis no parasta klāja.
2. piemērs
Ņemsim vēl vienu maka piemēru, kurā ir 5 USD 100 un 7 USD 1 rēķini. Ja 4 rēķini tiek izvēlēti nejauši, tad nosakiet varbūtību izvēlēties tieši 3 USD 100 rēķinus.
- Ņemot vērā, N = 12 (100 USD rēķinu skaits + 1 USD rēķinu skaits)
- n = 4 (nejauši izvēlētu rēķinu skaits)
- K = 5 (jo ir 5 USD 100 rēķini)
- k = 3 (100 USD rēķinu skaits, kas jāuzskata par veiksmīgu izvēlētajā izlasē)
Risinājums:
Tāpēc varbūtību izvēlēties tieši 3 USD 100 parādzīmes nejauši izvēlētajos 4 rēķinos var aprēķināt, izmantojot iepriekš minēto formulu:
Varbūtība = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n
= 5 C 3 * (12 - 5) C (4 - 3) / 12 C 4
= 5 C 3 * 7 C 1 / 12 C 4
= 10 * 7/495
Varbūtība būs -
Varbūtība = 0,1414 ~ 14,14%
Tāpēc pastāv 14,14% varbūtība izvēlēties tieši 3 USD 100 parādzīmes, vienlaikus sastādot 4 nejaušus rēķinus.
Atbilstība un lietojumi
Hipergeometriskā sadalījuma jēdziens ir svarīgs, jo tas nodrošina precīzu veidu, kā noteikt varbūtības, kad izmēģinājumu skaits nav ļoti liels un ka paraugi tiek ņemti no ierobežotas populācijas bez aizstāšanas. Faktiski hipergeometriskais sadalījums ir analogs binomiālajam sadalījumam, ko izmanto, ja izmēģinājumu skaits ir ievērojami liels. Tomēr paraugu ņemšanai bez aizstāšanas pārsvarā tiek izmantots hipergeometriskais sadalījums.
