Centrālās robežas teorēmas definīcija
Centrālās robežas teorēma norāda, ka populācijas nejaušā mainīgā lieluma izlases veida izlases ar jebkuru sadalījumu tuvosies normālam varbūtības sadalījumam, palielinoties izlases lielumam, un tiek pieņemts, ka, ja izlases lielums populācijā pārsniedz 30, vidējais no visiem izlases novērojumiem vidēji būs tuvu vienādam ar vidējo populāciju.
Centrālās robežas teorēmas formula
Mēs jau esam apsprieduši, ka tad, kad izlases lielums pārsniedz 30, sadalījums iegūst normāla sadalījuma formu. Lai noteiktu mainīgā normālo sadalījumu, ir svarīgi zināt tā vidējo lielumu un tā dispersiju. Normālu sadalījumu var norādīt kā
X ~ N (µ, α)
Kur
- N = novērojumu skaits
- µ = novērojumu vidējais lielums
- α = standartnovirze
Lielākajā daļā gadījumu novērojumi neapstrādātajā veidā daudz neatklāj. Tāpēc ir svarīgi standartizēt novērojumus, lai tos varētu salīdzināt. Tas tiek darīts ar z-score palīdzību. Novērošanai nepieciešams aprēķināt Z punktu skaitu. Z-punkta aprēķināšanas formula ir
Z = (X- µ) / α / √n
Kur
- Z = novērojumu Z-rezultāts
- µ = novērojumu vidējais lielums
- α = standartnovirze
- n = izlases lielums
Paskaidrojums
Centrālās robežas teorēma apgalvo, ka nejaušas populācijas mainīgā lieluma izlases paraugi ar jebkuru sadalījumu tuvosies normālam varbūtības sadalījumam, jo palielināsies izlases lielums. Centrālās robežas teorēma pieņem, ka, tā kā izlases lielums populācijā pārsniedz 30, izlases vidējais lielums, kas ir visu novēroto paraugu vidējais lielums, būs tuvu vienādam ar vidējo populāciju. Arī izlases standarta novirze, ja izlases lielums pārsniedz 30, būs vienāda ar populācijas standartnovirzi. Tā kā izlase tiek nejauši izvēlēta no visas populācijas un izlases lielums ir lielāks par 30, tad tas palīdz hipotēžu pārbaudē un konstruē hipotēzes pārbaudes ticamības intervālu.
Centrālās robežas teorēmas formulas piemēri (ar Excel veidni)
1. piemērs
Sapratīsim normāla sadalījuma jēdzienu ar piemēra palīdzību. Vidējā atdeve no kopfonda ir 12%, un standarta novirze no ieguldījumu fonda vidējās atdeves ir 18%. Ja pieņemam, ka peļņas sadalījums parasti tiek sadalīts, tad interpretēsim peļņas sadalījumu kopfonda ieguldījumos.
Ņemot vērā
- Vidējā ieguldījumu atdeve būs 12%
- Standarta novirze būs 18%
Tātad, lai uzzinātu 95% ticamības intervāla atdevi, mēs to varam uzzināt, atrisinot vienādojumu kā
- Augšējais diapazons = 12 + 1,96 (18) = 47%
- Zemāks diapazons = 12 - 1,96 (18) = -23%
Rezultāts nozīmē, ka 95% gadījumu atdeve no kopfonda būs robežās no 47% līdz -23%. Šajā piemērā izlases lielums, kas ir vairāk nekā 30 atgriešanās novērojumu nejaušas izlases atdeve, sniegs mums kopfonda populācijas atdeves rezultātu, jo izlases sadalījums parasti tiks sadalīts.
2. piemērs
Turpinot ar to pašu piemēru, ļaujiet mums noteikt, kāds būs rezultāts 90% ticamības intervālam
Ņemot vērā
- Vidējā ieguldījumu atdeve būs 12%
- Standarta novirze būs 18%
Tātad, lai uzzinātu 90% ticamības intervāla atdevi, mēs to varam uzzināt, atrisinot vienādojumu kā
- Augšējais diapazons = 12 + 1,65 (18) = 42%
- Zemāks diapazons = 12 - 1,65 (18) = -18%
Rezultāts nozīmē, ka 90% gadījumu atdeve no kopfonda būs robežās no 42% līdz -18%.
3. piemērs
Turpinot ar to pašu piemēru, noskaidrosim, kāds būs rezultāts 99% ticamības intervālam
Ņemot vērā
- Vidējā ieguldījumu atdeve būs 12%
- Standarta novirze būs 18%
Tātad, lai uzzinātu 90% ticamības intervāla atdevi, mēs to varam uzzināt, atrisinot vienādojumu kā
- Augšējais diapazons = 12 + 2,58 (18) = 58%
- Apakšējais diapazons = 12 - 2,58 (18) = -34%
Rezultāts norāda, ka 99% gadījumu atdeve no kopfonda būs robežās no 58% līdz -34%.
Atbilstība un izmantošana
Centrālās robežas teorēma ir ārkārtīgi izdevīga, jo tā ļauj pētniekam ar izlases palīdzību prognozēt visas populācijas vidējo lielumu un standartnovirzi. Tā kā izlase tiek nejauši izvēlēta no visas populācijas un izlases lielums ir lielāks par 30, tad jebkurš izlases izlases lielums, kas ņemts no populācijas, tuvosies normālai izplatīšanai, kas palīdzēs hipotēžu pārbaudē un konstruēs ticamības intervālu hipotēzes pārbaude. Pamatojoties uz centrālo robežu teorēmu, pētnieks var izvēlēties jebkuru izlases izlasi no visas populācijas, un, ja izlases lielums ir lielāks par 30,tad ar izlases palīdzību var prognozēt populāciju, jo izlase sekos normālam sadalījumam, kā arī parauga vidējā un standartnovirze būs tāda pati kā vidējā un standarta novirze populācijā.
