Eilera koeficienta funkcija - nozīme, piemēri, kā aprēķināt?

Kāda ir Eulera starpības funkcija?

Funkcija Totenta funkcija ir matemātiski reizinošas funkcijas, kas pozitīvos veselos skaitļus saskaita līdz dotajam veselajam skaitlim, ko parasti sauc par “n”, kas ir pamatskaitlis līdz “n”, un funkciju izmanto, lai uzzinātu sākotnējo skaitļu skaitu, kas pastāv līdz dots vesels skaitlis 'n'.

Paskaidrojums

Lai uzzinātu, cik daudz galveno skaitļu tuvojas dotajam skaitlim 'n', tiek izmantota Eulera Totient funkcija. To sauc arī par aritmētisko funkciju. Lietojumprogrammai vai funkcijas Euler Totient lietošanai ir svarīgas divas lietas. Viens ir tas, ka gcd, kas izveidots no norādītā veselā skaitļa 'n', ir reizināms viens ar otru, un otrs ir tas, ka gcd skaitļiem jābūt tikai galvenajiem skaitļiem. Veselam skaitlim 'n' šajā gadījumā jābūt lielākam par 1. No negatīva vesela skaitļa nav iespējams aprēķināt Eulera koeficienta funkciju. Šajā gadījumā princips ir tāds, ka attiecībā uz ϕ (n) reizinātājiem, ko sauc par m un n, jābūt lielākiem par 1. Tādējādi apzīmēti ar 1

Vēsture

Eulers šo funkciju ieviesa 1763. gadā. Sākotnēji Eulers funkcijas apzīmēšanai izmantoja grieķu π, taču dažu problēmu dēļ viņa grieķu π apzīmējums netika atpazīts. Un viņš nespēja tai piešķirt pareizo apzīmējuma zīmi, ti, ϕ. Tādējādi funkciju nevar ieviest. Tālāk ϕ tika ņemts no Gausa 1801. gada Disquisitiones Arithmeticae. Funkcija tiek saukta arī par phi funkciju. Bet Dž. Dž. Silvesters 1879. gadā šo funkciju iekļauj termina totents īpašību un funkciju izmantošanas dēļ. Dažādie noteikumi ir izstrādāti, lai risinātu dažādus skaitļus, kas doti, piemēram, ja vesels skaitlis p ir galvenais skaitlis, tad kurš likums ir jāpiemēro utt. Visi Eulera izstrādātie noteikumi ir praktiski un tos var izmantot arī šodien, strādājot ar tāpat.

Eulera koeficienta funkcijas īpašības

Ir dažas no īpašībām. Daži no Eulera koeficienta funkcijas īpašībām ir šādi:

  • Φ ir simbols, ko lieto, lai apzīmētu funkciju.
  • Funkcija nodarbojas ar galveno skaitļu teoriju.
  • Funkcija ir piemērojama tikai pozitīvu veselu skaitļu gadījumā.
  • Funkcijai ϕ (n) ir jāatrod divi reizinoši primārie skaitļi.
  • Funkcija ir matemātiska funkcija un daudzējādā ziņā noderīga.
  • Ja vesels skaitlis 'n' ir galvenais skaitlis, tad gcd (m, n) = 1.
  • Funkcija darbojas pēc formulas 1 <m <n, kur m un n ir galvenie skaitļi un reizināšanas skaitļi.
  • Kopumā vienādojums ir
Φ (mn) = ϕ (m) * ϕ (n) (1–1 / m) (1–1 / n)
  • Funkcija pamatā skaita pozitīvo veselu skaitļu skaitu, kas ir mazāks par norādīto veselu skaitli, kas ir salīdzinoši ar sākotnējiem skaitļiem.
  • Ja dotais vesels skaitlis p ir galvenais, tad ϕ (p) = p - 1
  • Ja p jauda ir galvenā, tad, ja a = p n ir galvenā jauda, ​​tad ϕ (p n ) = p n - p (n-1)
  • ϕ (n) nav viens - viens
  • ϕ (n) nav uz.
  • ϕ (n), n> 3 vienmēr ir vienmērīgs.
  • ϕ (10 n ) = 4 * 10 n-1

Aprēķiniet Eulera koeficienta funkciju

1. piemērs

Aprēķināt ϕ (7)?

Risinājums:

ϕ (7) = (1,2,3,4,5,6) = 6

Tā kā visiem skaitļiem ir galvenā vērtība līdz 7, līdz ar to tas easy bija viegli aprēķināt.

2. piemērs

Aprēķināt ϕ (100)?

Risinājums:

Tā kā 100 ir liels skaitlis, ir laikietilpīgi aprēķināt no 1 līdz 100 primāros skaitļus, kas ir pirmie skaitļi ar 100. Tāpēc mēs izmantojam šādu formulu:

  • ϕ (100) = ϕ (m) * ϕ (n) (1–1 / m) (1–1 / n)
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5 * (1 - 1/2) * (1 - 1/5)
  • = 100 * 1/2 * 4/5
  • = 40

3. piemērs

Aprēķināt ϕ (240)?

240 reizinājumi ir 16 * 5 * 3, ti, 2 4 * 5 * 3

  • ϕ (240) = ϕ (m) * ϕ (n) (1–1 / m) (1–1 / n)
  • ϕ (240) = 2 4 * 5 * 3

ja n M nav galvenais skaitlis, mēs izmantojam n m - n m-1

  • = (2 4 - 2 (4-1) ) * (5 1 - 5 (1-1) ) * (3 1 - 3 (1-1) )
  • = (2 4 - 2 3 ) * (5 - 1) * (3 - 1)
  • = 64

4. piemērs

Aprēķināt ϕ (49)?

  • ϕ (49) = ϕ (m) * ϕ (n) (1–1 / m) (1–1 / n)
  • ϕ (49) = ϕ (7) * ϕ (7)
  • = (7 1 - 7 (1-1) ) * (7 1 - 7 (1-1) )
  • = (7-1) * (7-1)
  • = 6 * 6
  • = 36

Pieteikumi

Dažādas lietojumprogrammas ir šādas:

  • Funkcija tiek izmantota, lai definētu RSA šifrēšanas sistēmu, ko izmanto interneta drošības šifrēšanai.
  • Izmanto galveno skaitļu teorijā.
  • Izmanto arī lielos aprēķinos.
  • Izmanto elementāru skaitļu teorijas pielietojumos.

Secinājums

Eulera koeficienta funkcija ir noderīga daudzos veidos. To izmanto RSA šifrēšanas sistēmā, kas tiek izmantota drošības nolūkos. Funkcija nodarbojas ar galvenā skaitļa teoriju, un tā ir noderīga arī lielu aprēķinu aprēķināšanā. Funkcija tiek izmantota arī algebriskos aprēķinos un elementāros skaitļos. Funkcijas apzīmēšanai izmantotais simbols ir ϕ, un to sauc arī par phi funkciju. Funkcija sastāv no vairāk teorētiskas, nevis praktiskas izmantošanas. Funkcijas praktiskā izmantošana ir ierobežota. Funkciju var labāk izprast, izmantojot dažādus praktiskus piemērus, nevis tikai teorētiskus paskaidrojumus. Eulera koeficienta funkcijas aprēķināšanai ir dažādi noteikumi, un dažādiem skaitļiem jāpiemēro dažādi noteikumi. Funkcija pirmo reizi tika ieviesta 1763. gadā, taču dažu problēmu dēļto ieguva 1784. gadā, un nosaukums tika modificēts 1879. gadā. Funkcija ir universāla funkcija, un to var pielietot visur.

Interesanti raksti...