Formula studenta T sadalījuma aprēķināšanai
T sadalījuma aprēķināšanas formula (kas tautā tiek dēvēta arī par Studenta T sadalījumu) tiek parādīta kā Atņemot populācijas vidējo (otrā parauga vidējo) no vidējā parauga (vidējā pirmā parauga), kas ir (x̄ - μ), kas pēc tam tiek dalīts ar vidējo standartnovirzi, kas sākotnēji dalīta ar kvadrātsakni n, kas ir vienību skaits šajā paraugā (s ÷ √ (n)).
T sadalījums ir sava veida sadalījums, kas izskatās gandrīz kā normāla sadalījuma līkne vai zvana līkne, bet ar mazliet resnāku un īsāku asti. Kad izlases lielums ir mazs, normālā sadalījuma vietā tiks izmantots šis sadalījums.
t = (x̄ - μ) / (s / √n)
Kur,
- x̄ ir vidējais paraugs
- μ ir populācijas vidējais lielums
- s ir standarta novirze
- n ir norādītā parauga lielums
T sadalījuma aprēķins
Studenta t sadalījuma aprēķins ir diezgan vienkāršs, bet jā, vērtības ir nepieciešamas. Piemēram, ir nepieciešams populācijas vidējais lielums, kas ir Visuma vidējais lielums, kas nav nekas cits kā populācijas vidējais rādītājs, turpretim vidējais parauga lielums ir nepieciešams, lai pārbaudītu populācijas autentiskumu nozīmē, vai apgalvojums, kas apgalvots, pamatojoties uz populāciju, patiešām ir patiess un paraugs, ja kāds ņemts, pārstāvēs to pašu paziņojumu. Tātad t sadalījuma formula šeit vidējo lielumu atņem no vidējā līmeņa un pēc tam dala to ar standartnovirzi un reizina ar izlases lieluma kvadrātsakni, lai standartizētu vērtību.
Tomēr, tā kā t sadalījuma aprēķināšanai nav diapazona, vērtība var kļūt dīvaina, un mēs nevarēsim aprēķināt varbūtību, jo studenta t sadalījumam ir ierobežojumi, lai sasniegtu vērtību, un līdz ar to tas ir noderīgs tikai mazāka parauga lielumam . Turklāt, lai aprēķinātu varbūtību pēc tam, kad tiek sasniegts rezultāts, studenta t sadalījuma tabulā jāatrod tās vērtība.
Piemēri
1. piemērs
Apsveriet, kā tiek doti šādi mainīgie:
- Iedzīvotāju vidējais = 310
- Standarta novirze = 50
- Izlases lielums = 16
- Vidējais paraugs = 290
Aprēķiniet t sadalījuma vērtību.
Risinājums:
T sadalījuma aprēķināšanai izmantojiet šādus datus.
Tātad T sadalījuma aprēķinu var veikt šādi:
Šeit ir norādītas visas vērtības. Mums vienkārši jāiekļauj vērtības.
Mēs varam izmantot t sadalījuma formulu
T vērtība = (290 - 310) / (50 / √16)
T vērtība = -1,60
2. piemērs
Uzņēmums SRH apgalvo, ka tā darbinieki analītiķu līmenī nopelna vidēji 500 USD stundā. Tiek izvēlēta 30 darbinieku analītiķu līmeņa izlase, un viņu vidējā izpeļņa stundā bija 450 ASV dolāri ar parauga novirzi 30 ASV dolāri. Pieņemot, ka viņu apgalvojums ir patiess, aprēķiniet t-sadalījuma vērtību, ko izmanto, lai atrastu t-sadalījuma varbūtību.
Risinājums:
T sadalījuma aprēķināšanai izmantojiet šādus datus.
Tātad T sadalījuma aprēķinu var veikt šādi:
Šeit ir norādītas visas vērtības; mums vienkārši jāiekļauj vērtības.
Mēs varam izmantot t sadalījuma formulu
T vērtība = (450 - 500) / (30 / √30)
T vērtība = -9,13
Tādējādi t rādītāja vērtība ir -9,13
3. piemērs
Universālās koledžas padome bija izvēlējusies IQ līmeņa pārbaudi 50 nejauši izvēlētiem profesoriem. Rezultāts, ko viņi atrada, bija vidējais IQ līmeņa rādītājs 120 ar dispersiju 121. Pieņemsim, ka t rādītājs ir 2,407. Kāda ir populācijas vidējā vērtība šim testam, kas attaisnotu t rādītāja vērtību kā 2,407?
Risinājums:
T sadalījuma aprēķināšanai izmantojiet šādus datus.
Šeit visas vērtības ir norādītas kopā ar t vērtību; mums šoreiz jāaprēķina populācijas vidējā vērtība, nevis t vērtība.
Mēs atkal izmantosim pieejamos datus un aprēķināsim populācijas vidējos rādītājus, ievietojot vērtības, kas norādītas zemāk esošajā formulā.
Izlases vidējais lielums ir 120, populācijas vidējais lielums nav zināms, izlases standartnovirze būs dispersijas kvadrātsakne, kas būtu 11, un izlases lielums ir 50.
Tātad populācijas vidējo (μ) aprēķinu var veikt šādi:
Mēs varam izmantot t sadalījuma formulu.
T vērtība (120 - μ) / (11 / √50)
2,407 = (120 - μ) / (11 / √50)
-μ = -2,407 * (11 / √50) -120
Iedzīvotāju vidējais (μ) būs -
μ = 116,26
Tādējādi iedzīvotāju vidējā vērtība būs 116,26
Atbilstība un izmantošana
T sadalījums (un tās saistītās t rādītāju vērtības) tiek izmantots hipotēžu pārbaudē, kad jānoskaidro, vai jānoraida vai jāpieņem nulles hipotēze.
Iepriekš redzamajā diagrammā centrālais reģions būs pieņemšanas apgabals, un astes reģions būs noraidīšanas reģions. Šajā diagrammā, kas ir 2 astes tests, zilā nokrāsa būs noraidījuma reģions. Teritoriju astes reģionā var raksturot vai nu ar t-rādītājiem, vai ar z-rādītājiem. Veikt piemēru; attēlā kreisajā pusē tiks attēlots apgabals astes piecos procentos (kas ir 2,5% no abām pusēm). Z rādītājam jābūt 1,96 (ņemot vērtību no z tabulas), kas norāda šo 1,96 standartnovirzi no vidējā vai vidējā. Nulles hipotēzi var noraidīt, ja z rādītāja vērtība ir mazāka par -1,96 vai z rādītāja vērtība ir lielāka par 1,96.
Parasti šo sadalījumu lieto, kā aprakstīts iepriekš, ja vienam ir mazāks izlases lielums (galvenokārt zem 30) vai ja nezina, kāda ir populācijas dispersija vai populācijas standartnovirze. Praktiskiem nolūkiem (tas ir reālajā pasaulē) tas tā būtu vienmēr. Ja iesniegtā parauga lielums ir pietiekami liels, tad 2 sadalījumi būs praktiski līdzīgi.
